Question

设方程x^2+y^2-1=0确定隐函数y=f(x)，则f(x)的值域是多少？

另外，已求得f(x)的二阶导数为（-1/y^3），则其在x=0处的二阶导数为多少？

Answer 1

由x²+y²=1确定的函数有两个单值分支，y=√(1-x²）与y=-√(1-x²）.
y=√(1-x²）的值域是[0,1],y=-√(1-x²）的值域是[-1,0].所以由由x²+y²=1确定的函数y=f(x)的值域是[-1,1]
x=0,对应两个y的值，即x=0,y=1与x=0,y=-1.因此二阶导数也有两个值，分别为1，-1.
另外，函数的值域也可以直接由x²+y²=1直接判断，因为x的变化范围是[-1,1],则对应的y的变化范围为[-1.1].

追问

你说的是否是多值函数？函数的自变量对应唯一的函数值，多值函数还是函数吗？

追答

多值函数是函数，这个方程确定的函数就是多值函数，一般的多值函数可以分成几个单值分支。
一般的在特定的课程中，如果不特殊说明，函数特指单值函数，但要注意，这只是在一个特定的课程中约定俗成。而函数的概念本身是包含多值函数与单值函数的。

追问

那么你说的函数是广义函数吗？本人才疏学浅，对函数的定义的认识尚停留在《高等数学》。另请指教，我应该看什么书去了解更广义的函数定义？

Answer 2

这就是一个圆么？利用x=rcost, y=rsint，可见-1<= y <=1
x=0时，y=1,y=-2，带人就得到二阶导数为1或者-1
但是这没有其他条件不构成函数，因为x->y不是一一映射，所以题目有问题

Answer 3

由x²+y²=1确定的函数有两个单值分支，y=√(1-x²）与y=-√(1-x²）.
y=√(1-x²）的值域是[0,1],y=-√(1-x²）的值域是[-1,0].所以由由x²+y²=1确定的函数y=f(x)的值域是[-1,1]
x=0,对应两个y的值，即x=0,y=1与x=0,y=-1.因此二阶导数也有两个值，分别为1，-1.
另外，函数的值域也可以直接由x²+y²=1直接判断，因为x的变化范围是[-1,1],则对应的y的变化范围为[-1.1].