Question

二次函数综合题

抛物线Y=1/2x的平方+mx+n与直线Y=x交于A、B两点,与Y轴交于点C,OA=OB,BC平行于x轴
（1）求抛物线的表达式
（2）设D，E是线段AB上异于A,B的两个动点（点E在点D的上方）,DE=根号2，过D,E 两点分别作Y轴的平行线，交抛物线于点F，G,设点D的横坐标为x 四边形DEFG的面积为y，求y与x之间的关系式，写出自变量x的取值范围,并回答x为何值时，y 有最大值

Answer 1

A（xa，ya） B （xb，yb）C（xc，yc）O（0,0）
因 A B 在直线y=x上 A（xa，xa） B （xb，xb）
因 C 在y轴上 C（0，yc）
BC平行于x轴
则有 BC直线方程为y=C 则 yb=yc=xb
OA=OB xa^2+ya^2=xb^2+yb^2 即 xa=yc 或 xa=-yc
因A B C 在抛物线上 xa=1/2(xa)^2+m(xa)+n
xb=1/2(xb)^2+m(xb)+n
yc=1/2(0)^2+m(0)+n=n
整理的 xb=yc=xa=n 当 1/2n^2+mn=0 的 n=0 m=-1/2n
当n=0 时 A（0,0） B（0,0）不合题意 舍
xb=yc=n xa=-n 1/2n^2+mn=0 1/2n^2-mn+2n=0
解得 m= 1 n=-2
抛物线方程为 y=1/2x^2+x-2
2、由题意可知四边形 是以DF EG为底的梯形
令 D（xd，yd）E（xe，ye） 由题意可知 D（xd，xd）E（xe，xe）且 xe-xd>0
F(xf,yf) G(xg,yg) 由题意可知F（xd，1/2xd^2+xd-2）,G(xe，1/2xe^2+xe-2)
DE=根号2 则 （xd-xe）^2+（xd-xe）^2=2 xe-xd=1 即梯形的高为1 且xe=xd+1
四边形面积=（DF+EG）*h/2
则有 y=(|1/2x^2+x-2-x|+|1/2(x+1)^2+x+1-2-(x+1)|)/2
=(|1/2x^2-2|+|1/2(x+1)^2-2|)/2
A(2,2) B(-2,-2) 则有 x 在 -2 到2 之间
当x属于（-2,1） y=(2-1/2x^2+2-1/2(x+1)^2)/2=-1/2x^2-1/2x+7/4
当x属于（1,2） y=(2-1/2x^2-2+1/2(x+1)^2)/2=1/2x+1/4
y=-1/2x^2-1/2x+7/4 x属于（-2,1）
y=1/2x+1/4 x属于（1,2）
3、
当x属于（-2,1） y=-1/2x^2-1/2x+7/4=-1/2（x+1/2）^2 +15/8 当 x=-1/2 时 y最大15/8
当x属于（1,2） y=(2-1/2x^2-2+1/2(x+1)^2)/2=1/2x+1/4 当 x=2时 y最大5/4=10/8
所以当x=-1/2时 y取最大值15/8