Question

高中数学放缩法的一道难题（答好加分）

比较F（n)=(2^n -1)/(2^n +1) 与n/(n+1)的大小，在大于等于3时，前者大于后者，但我用放缩法证不出来，因为差值及小，一放缩就过头，有什么好的办法吗

Answer 1

证明：
构造函数
f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)-x/(x+1)(x>0)
f(x)=(2^x+1-2)/(2^x+1)]-(x+1-1)/(x+1)
f(x)=1/(x+1)-2/(2^x+1)=(x+1)^(-1)-2*(2^x+1)^(-1)
当x>=3时，f'(x)=-(x+1)^(-2)+2(2^x+1)^(-2)*2^x*ln2>=0，所以函数在x>=3时单调递增
所以f(x)>=f(3)>f(0)=0
即(2^x-1)/(2^x+1)>x/(x+1)
即（2^n-1)/(2^n+1)>n/(n+1)
通过这里只要n>=3，不等式成立！