Question

一阶导数等于0吗？

Answer 1

一阶导数有可能等于0。

函数在某一点处一阶导数为0，二阶导数为1，此时表示函数在这一点取极小值。

一阶导数为零，那么为稳定点，二阶导数为1>0，那么一阶导数在此点左边为负，右边为正，故原函数在此点左边递减，右边递增。即为极小值。

如果函数一阶导数恒为0，那么更高阶导数必然都为0。类似的，一阶导数为0，二阶导数若小于0，那么就是极大值了。

可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在实数域上都有定义，函数在定义域中一点可导需要一定的条件。

要使函数f在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续，可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

Answer 2

一阶导数有可能等于0，一阶导数为0时，可能是极值点，可能不是。

在极值点，一阶导数一定为0，但是一阶导数为0，可能是一条平行于x轴的直线，根本没有极大极小的问题，所以一阶导数为0是极指点的必要条件，而非充分条件。

一阶导数单调性：

一阶导数表示的是函数的变化率，最直观的表现就在于函数的单调性定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶导数，那么：

1、若在(a,b)内f'(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形单调递增；

2、若在(a,b)内f’(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形单调递减；

3、若在(a,b)内f'(x)=0，则f(x)在[a,b]上的图形是平行（或重合）于x轴的直线，即在[a,b]上为常数。