Question

奥数计算题⑧速度~（有点难）高手进

（1×2分之1²＋2²）＋（2×3分之2²＋3²）＋（3×4分之3²＋4²）＋……＋（2000×2001分之2000²＋2001）

Answer 1

因为(1^2+2^2)/1*2=[(1+2)^2-2*1*2]/1*2=(1+2)^2/1*2-2=4+1/1*2-2=1/1*2+2
(2^2+3^2)/2*3=.............................=(2+3)^2/2*3-2=4+1/2*3-2=1/2*3+2
(3^2+4^2)/3*4=.............................=(3+4)^2/3*4-2=4+1/3*4-2=1/3*4+2
. .........................................................................................................
(2000^2+2001^2)/2000*2001=.....=(2000+2001)^2/2000*2001-2=1/2000*2001+2
所以(1^2+2^2)/1*2+(2^2+3^2)/2*3+(3^2+4^2)/3*4+........+(2000^2+2001^2)/2000*2001
=1/1*2+1/2*3+1/3*4+.......+1/2000*2001+2*2000
=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+........+(1/2000-1/2001)+2*2000
=1-1/2001+4000
=2000/2001+4000
（注：[(n^2+(n+1)^2]/n*(n+1)={[n+(n+1)]^2-2*n*(n+1)}/n*(n+1)
=(2n+1)^2/n*(n+1)-2=(4n^2+4n+1)/(n^2+n)-2
=4+1/n*(n+1)-2=1/n*(n+1)+2
=1/n-1/(n+1)+2 ）