Question

闭集的定义是什么?

Answer 1

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。不要混淆于闭流形。

在度量空间中，如果一个集合的所有极限点（或称聚点）都属于这个集合，或该集合没有极限点，那么这个集合就叫做闭集。

我们把一个集合A的所有极限点所组成的集合称为A的导集，记为A'，因此用数学符号来定义闭集的话，就是：如果A'⊆A，那么A是闭集。规定空集为闭集。而如果一个集合没有极限点，那么A'=∅。因为空集是任何集合的子集，所以A'⊆A仍然成立，即A仍然是闭集。

闭集还有另外一个定义。如果一个集合包含它所有的边界点，那么这个集合叫做闭集。若以A来表示A的边界点，那么：如果AA，那么A是闭集。

闭集的性质：

（1）A是闭集当且仅当它的补集是开集。

（2）任意一个集合的导集和闭包都是闭集。

（3）任意多个闭集之交为闭集，有限个闭集之并为闭集。

（4）闭集与开集的差集仍是闭集。

以上内容参考 百度百科－闭集