如何证明这个函数是无界的?
反证法：
假设A=a*sina是函数的上界，即对（0,+无穷）上所有实数，均有F(x)=xsinx<=A，此时sina必大于0。
但当x=a+2π时，有F(a+2π）=（a+2π）＊sin（a+2π）＝（a+2π）＊sina
因为a+2π＞a，sina>0，所以F(a+2π）=（a+2π）
*sina>a*sina=A
因此相矛盾了。
所以函数f（x）为无界函数。
有界函数的图形必介于两条平行于x轴的直线y=-M和y=M之间（当自变量为x时），笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，必须指明所考虑的区间。
例如，函数 
函数 
函数 
可以用反证法。
可以假设有界，设为M，即|f|小于等于M，在证明存在于M有关的x可使|f|大于M即可。
反证法，亦称“逆证”，是间接论证的方法之一，是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
反证法的论证过程如下：
首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。
反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：
肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题。法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
可以假设有界，设为M，即|f|小于等于M，在证明存在于M有关的x可使|f|大于M即可。
反证法，亦称“逆证”，是间接论证的方法之一，是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
