Question

有界一定收敛吗?

Answer 1

有界不一定收敛是指此数列或函数存在上下限，但没有一种趋势是趋向于某一个确定的数，就像正弦函数一样，虽然有正负1给它作为上下限，但随着x的变化，函数值没有趋向于一个确定的1一样。

收敛一定有界指的是此数列或函数存在一个趋势，这个趋势的极限是一个确定的值，就像反比例函数一样。

收敛数列一定有界（反证,假设无界,肯定不收敛） ，有界数列不一定收敛（反例,数列{(-1)^n}是有界的,但它却是发散的）。

关于函数的有界性．应注意：函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一。

从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界，如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。

若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。