cosx/sinx+cosx的不定积分是什么？
如下：
1、∫(sinx×cosx) /sinx＋cosxdx。
＝∫2cosxdx。
＝2sinx。
2、∫(sinx×cosx) /(sinx＋cosx) dx。
＝∫(sin²xcosx－sinxcos²x)/(2sin²x－1) dx。
＝∫sin²x cosx/(2sin²x－1) dx－∫sinxcos²x/(1-2cos²x) dx。
＝∫sin²x/(2sin²x－1) dsinx＋∫cos²x/(1-2cos²x) dcosx。
＝1/2·sinx＋√2/8·ln((√2·sinx-1)/(√2sinx＋1))＋(-1/2·cosx－√2/8·ln((-1+√2·cosx) /(1＋√2·cosx))) ＋C。
＝1/2(sinx-cosx) ＋√2/8 ·ln((2sinxcosx＋√2sinx-√2cosx-1) /(2sinxcosx-√2sinx＋√2cosx-1)) ＋C。
深度解读过程：
如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
