Question

求曲线y=-x^3+3x^2+1过点(1.1)和 (2.5)和的切线方程.

Answer 1

x=1时y=3;
x=2时y=5.
y'=-3x^2+6x,
x=2时y'=0,
所以曲线y=-x^3+3x^2+1过点(2,5)的切线方程是y-5=0.
设曲线y=-x^3+3x^2+1过点(x0,y0)的切线方程为
y-y0=(-3x0^2+6x0)(x-x0),
它过点(1,1),
所以1-y0=(-3x0^2+6x0)(1-x0),
把y0=-x0^3+3x0^2+1代入上式，得x0^3-3x0^2=-3x0^2+6x0+3x0^3-6x0^2,
整理得2x0^3-6x0^2+6x0=0,
解得x0=0,或x0^2-3x0+3=0(无实根),
此时y0=1,y'=0,
曲线y=-x^3+3x^2+1过点(0,1)的切线方程为y-1=0,这条切线过点(1,1).