Question

在正三角形ABC内有一点M，且MA=3，MB=4，MC=5。（1）求∠BMA的度数；（2）求正三角形ABC的面积。

Answer 1

（1）将△BCM绕顶点B逆时针旋转60°，到达BAM ' 位置

则∠MBM ' = 60°，BM ' =BM=4 ，AM '=MC=5

∴△BMM ' 是正三角形

∴MM ' =BM=4

在△MAM '中，MA=3，MM '=4，AM '=5

∴ △MAM '是直角△，且∠AMM '是直角

从而∠BMA=60°+ 90°=150°

（2）由余弦定理有：

AB^2=MA^2+MB^2—2MA×MB×cos150°

         =3^2+4^2—2×3×4×(—cos30°)

        =9+16+24×0.866 =45.78

（AB=√45.78=6.766）

得到△ABC面积=√3/4×AB^2

                            =√3/4×45.78=19.82（平方单位）

Answer 2

(1)求角BMA的度数;
在三角形ABC外取点N,使NA=MA=3,NB=MC=5,连接MN.
则根据SSS得△ABN≌△ACM.∠BAN=∠CAM,∠MAN=∠CAB=60°.
△BMN中根据勾股定理得MN⊥MB,∠BMN=90°,∠BMA=150°.
(2)求正三角形的面积.
设三角形AMB面积是x,AMC是y,CMA是z。
那么x+y就是四边形AMBM'的面积，可以求出。同样，y+z,z+x也可以求出。
最后解出x+y+z就行了。（按1中的取点方法去求）