Question

椭圆的弦长公式中，已知x1+x2和x1x2,怎么推出y1+y2和y1y2

Answer 1

弦所在的直线设为y=kx+b

y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b

y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1x2+kb(x1+x2)+b^2

将x1+x2，x1x2代入即可。

设直线y=kx+b

代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，

设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)

则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]

把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,

则有：

AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²

=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]

=│x1-x2│ √ (1+k²)　

同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

扩展资料：

直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线 A!=0，B!=0;）

直线：Ax+By+C=0;

椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1;

求直线和椭圆的交点：

(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0。

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ。

参考资料来源：百度百科--椭圆弦长公式

Answer 2

弦所在的直线设为y=kx+b
y1+y2=kx1+b+kx2+b=k(x1+x2)+2b
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1x2+kb(x1+x2)+b^2
将x1+x2，x1x2代入即可。