Question

微分方程-积分因子法

Answer 1

若方程是恰当方程，即 ，则它的通积分为

对一般的方程（2.55），设法寻找一个可微的非零函数 ，使得用它乘方程（2.55）后，所得方程

成为恰当方程，即

这时，函数 叫做方程（2.55）的一个 积分因子

微分方程（2.55）有一个只依赖于 得积分因子得充要条件是：表达式

只依赖于 ，而与 无关；而且若把表达式（2.60）记为 ，则 是方程（2.55）的一个积分因子.

类似的有下面平行的结果：

微分方程（2.55）有一个只依赖于 得积分因子得充要条件是：表达式

只依赖于 ，则 是方程（2.55）的一个积分因子.

求解微分方程

可以用积分因子求解通积分

我们现在从另一种观点—— 分组求积分因子
将（2.62）左端分成两组

其中第二组 显然有积分因子： ，如果同时照顾到第一组的全微分形式，则 乃是两组公共的积分因子，从而是方程（2.62）的积分因子. 为了使这种分组求积分因子的方法一般化，我们需要下述定理.

若 是方程（2.55）的一个积分因子，使得

则 也是（2.55）的一个积分因子，其中 是任意可微的非零函数

假设方程（2.55）的左端可以分成两组，即

其中第一组和第二组各有积分因子 和 ，使得

由定理 2.6 可见，对任意可微函数 和 ，函数 是第一组的积分因子，而函数 是第二组的积分因子. 因此，如果能适当选取 与 ，使得 ，则 就是方程（2.55）的一个积分因子.

若 是齐次方程，则函数
是一个积分因子