初三数学因式分解法
初三数学因式分解法 篇1
许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等。把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x（2003淮安市中考题） 解：x -2x -x=x（x -2x-1）
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b （2003南通市中考题） 解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）
例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = （m -5m ）+（-mn+5n） =m（m-5）-n（m-5） =（m-5）（m-n）
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）
例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2
2-21=-19
解：7x2 -19x-6=（7x+2）（x-3）
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2 +3x-40 解x2 +3x-40=x +3x+（ ） -（ ） -40 =（x+ ） -（ ） =（x+ + ）（x+ - ） =（x+8）（x-5）
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）
解：bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）
=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）
7、换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x2 - x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2（x +1）-x（x +1）-6x =x [2（x + ）-（x+ ）-6
令y=x+ ， x [2（x + ）-（x+ ）-6 = x [2（y -2）-y-6] = x （2y -y-10） =x （y+2）（2y-5） =x （x+ +2）（2x+ -5） = （x +2x+1） （2x -5x+2） =（x+1） （2x-1）（x-2）
8、求根法
令多项式f（x）=0，求出其根为x ，x ，x ，……x ，则多项式可因式分解为f（x）=（x-x ）（x-x ）（x-x ）……（x-x ）
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f（x）=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知，f（x）=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）
9、图象法
令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与X轴的交点x ，x ，x ，……x ，则多项式可因式分解为f（x）= f（x）=（x-x ）（x-x ）（x-x ）……（x-x ）
例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）
10、主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a （b-c）+b （c-a）+c （a-b）
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a （b-c）+b （c-a）+c （a-b）=a （b-c）-a（b -c ）+（b c-c b） =（b-c） [a -a（b+c）+bc] =（b-c）（a-b）（a-c）
11、利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=（x +ax+b）（x +cx+d） = x +（a+c）x +（ac+b+d）x +（ad+bc）x+bd 所以解得
则x -x -5x -6x-4 =（x +x+1）（x -2x-4）
初三数学因式分解法 篇2
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
1、运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，
例如：
（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；
（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。
下面再补充几个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；
（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；
（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；
（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式。
例1 分解因式：a3+b3+c3-3abc。
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）。
分析 我们已经知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）。
这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导。
解 原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc=[（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）。
2、拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。
例2 分解因式：x3-9x+8。
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧。
解法1 将常数项8拆成-1+9。
原式=x3-9x-1+9
=（x3-1）-9x+9
=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）
=（x-1）（x2+x-8）。
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x。
原式=x3-x-8x+8
=（x3-x）+（-8x+8）
=x（x+1）（x-1）-8（x-1）
=（x-1）（x2+x-8）。
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3。
原式=9x3-8x3-9x+8
=（9x3-9x）+（-8x3+8）
=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）
=（x-1）（x2+x-8）。
解法4 添加两项-x2+x2。
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2（x-1）+（x-8）（x-1）
=（x-1）（x2+x-8）。
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种。
3、换元法
换元法指的'是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰。 例3 分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）-12。
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难。我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了。
解 设x2+x=y，则
原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10
=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）
=（x-1）（x+2）（x2+x+5）。
说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试。
4、双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法。对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式。
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），
可以看作是关于x的二次三项式。
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 （x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2； （x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；
（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3。 这就是所谓的双十字相乘法。
用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；
（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。
例4 分解因式：
x2-3xy-10y2+x+9y-2 解：
原式=（x-5y+2）（x+2y-1）
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，
例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；
（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。
下面再补充几个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；
（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；
（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；
（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，
例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；
（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。
下面再补充几个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；
（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；
（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；
（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。
