在任意四边形ABCD中,求证：AB*CD+AD*BC>=AC*BD,并指出取等号条件.
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这是托勒密定理推广式.
证明：在四边形ABCD中取点E,使角BAE=角CAD 角ABE=角ACD
则三角形ABE相似于三角形ACD
所以AB/AC=BE/CD=AE/AD
AB*CD=AC*BE
又因为AB/AC=AE/AD且角BAC=角EAD
推出三角形ABC相似于三角形AED
AD*BC=AC*ED
所以AB*CD+AD*BC=AC*(BE+ED)>=AC*BD
当且仅当BED共线时等号成立,即ABCD四点共圆时等号成立.
证明：在四边形ABCD中取点E,使角BAE=角CAD 角ABE=角ACD
则三角形ABE相似于三角形ACD
所以AB/AC=BE/CD=AE/AD
AB*CD=AC*BE
又因为AB/AC=AE/AD且角BAC=角EAD
推出三角形ABC相似于三角形AED
AD*BC=AC*ED
所以AB*CD+AD*BC=AC*(BE+ED)>=AC*BD
当且仅当BED共线时等号成立,即ABCD四点共圆时等号成立.
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