Question

设AB均为n阶矩阵A^2=A,B^2=B,且（A+B）^2=A+B,求证AB=0;

Answer 1

(A+B)=A^2+B^2+AB+BA=A+B
因为A^2=A B^2=B
所以AB+BA=0
A^2=A
于是A的特征值有
b^2-b=0 =>b=0 或者b=1 （b是A的特征值）
AB+BA=0左乘A得
AB+ABA=0
=>AB(E+A)=0
因为A的特征值只能在0和1中选择 所以A+E的特征值只能在1和2中选择
所以A+E行列式不等于0
那么A+E不可逆 也就是说有 n个不相关的向量
也就是说AB有n个基础解系 （因为AB(E+A)=0,可以把E+A看作AB的齐次方程的解）
也就是AB的秩为0
那么AB只能为0