Question

高斯和黎曼的微分几何（一+）

Answer 1

高斯1827年文章研究了另一个极其重要的课题：寻找曲面上的测地线（1850年刘维尔引入测地线一词），这个问题需要高斯使用的变分法，他通过x,y,z表示并证明约翰伯努利的一个定理：测地线的主法线垂直于曲面（例如球面上的纬度圆，在其一点处的主法线位于这个圆所在的平面上，并不与球面垂直，而经度圆在任一点处的主法线都与球面垂直）。u和v之间的任何一个关系都确定曲面上的一条直线，这种关系由一个微分方程确定，方程可以写成多种形式，高斯仅指出这是u和v的一个二阶方程，但没有明确给出。有一种形式是 ，这里系数均为E,F,G的函数。
假设曲面两点间存在唯一测地线时必须非常小心，球面上两个邻近点有唯一测地线连接，但两个对径点有无穷多条测地线连接，类似地，在圆柱面同一条直母线上的两点，被一条沿直母线的测地线连接，但有无穷多条螺旋线作为测地线连接这两点，如果在一区域内的两点间只有一条测地线弧，则这条弧给出两点间最短路线。有许多人研究过在特殊曲面上确定测地线的问题。

高斯1827年文章中，对一个由测地线构成的三角形（上图），证明了一条关于曲率的著名定理。设K是一个曲面的可变曲率，于是 是这个曲率在面积A上的积分，高斯的定理用于该三角形，说的是 ，在一个测地三角形上曲率的积分等于三个角之和超过180°的盈量，或三个角之和小于180°的亏量。高斯认为这个定理精美，这个结果推广了 上章 兰伯特的定理，后者断言球面三角形面积等于它的球面盈量与半径平方之积，因为在一个球面三角形上K是常数且等于 。
高斯的微分几何还有一部分更重要的工作，拉格朗日曾论述了旋转面到平面的保角映射（见 十八世纪的解析几何和微分几何 ），1822年高斯论述了求任一曲面保角变换到任何另一曲面上的解析条件问题，凭论文获得了丹麦皇家科学院的奖金，他提出的条件相当于：设T和U是表示一个曲面的参数，t和u是表示另一个曲面的参数，则T和U的一个函数P+iQ是p+iq的一个函数f，这里p+iq是参数t和u的对应函数，且P-iQ是f'(p-iq)，其中f'要么是f，要么是把f中的i换成-i得到的函数。函数f依赖于两个曲面之间的对应关系，这个对应关系由T=T(t,u)和U(t,u)规定。关于曲面的一个有限部分能否以及用什么方式保角映射到另一曲面，高斯没有回答，黎曼在复值函数工作中对此做了研究（见 单复变函数 ）。
高斯的微分几何工作本身是一个里程碑，它的含义比高斯自己的评价更为深刻，在这个工作之前，曲面一直是作为三维欧几里得空间图形进行研究的，但高斯证明了，曲面几何可以集中在曲面本身进行研究，如果通过曲面在三维空间的参数表示x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)引进u,v坐标，并用以确定E,F,G和 的表达式，就得到这个曲面的欧几里得性质，曲面所有性质都能通过这个表达式推导，提出了两个极其重要的思想：1、曲面本身可以看成一个空间（而不是三维空间的图形），因为它的全部性质被 确定，如果把测地线当作曲面上的直线，则几何是非欧几何的。如果把球面本身当作一个空间研究，那么它就有自己的几何，取经度、纬度作为点的坐标，曲面几何显然不是欧几里得的，因为直线/测地线是曲面上的大圆弧；但如果把球面看成三维空间中的一张曲面，球面几何就是欧几里得的，曲面上两点之间最短距离是三维欧几里得几何的线段（虽然它不在曲面上），高斯的工作意味着至少在曲面上有非欧几何（但高斯是否看到曲面几何的非欧几何解释就不得而知了）。2、可以认为一张曲面固有的E,F,G是由参数方程确定的，但可以从曲面出发引入两族参数曲线，任意选取u和v的函数E,F,G，于是曲面有这些E,F,G确定的几何，这个几何对曲面是内蕴的，与周围空间无关，随着E,F,G的选取不同，同一张曲面可以有不同的几何。为什么三维空间中不能选取不同的距离函数？直角坐标系中通常的距离函数是 ，对欧几里得几何这是必然的，因为它恰好是勾股定理的解析表示。然而对于相同的直角坐标，可以选取不同的 表达式，从而得到不同的几何（一种非欧几何）。黎曼将高斯的这种思想继承并推广到任何空间。