Question

在复数范围内,求1的立方根.

Answer 1

1,1/2*(-1+i*根号3),1/2*(-1-i*根号3).
设x=r×(cos(theta)+i*sin(theta)),
则由复数幂的性质,
x^3=r^3×(cos(3*theta)+i*sin(3*theta)).
因为x^3=1,对比模长,幅角得
r^3=1,
3*theta=n*2*Pi（Pi为圆周率）.
得
r=1,theta=0,2/3×Pi,4/3×Pi.
因此
x1=1.
x2=(cos(2/3×Pi)+i*sin(2/3×Pi))=1/2*(-1+i*根号3).
x3=(cos(4/3×Pi)+i*sin(4/3×Pi))=1/2*(-1-i*根号3).