Question

设p为质数,若方程x2-px-580p=0的两个根均为整数,则p的取值范围

Answer 1

由题意
设方程有根a,b
则ab=-580p=-29*2*2*5p
a+b=p
对a,b讨论,并且求|a+b|以方便讨论
若a=-580 b=p |a+b|=p 得p=290 不是质数
若a=-290 b=2p 同理 得p=290 p=290/3 均不合题意
若a=-145 b=4p 同理 得p=145/3（舍去） p=29 此时对应的a b为145 -116
若a=-116 b=5p 同理 得p=29 （共轭）p=116/6（舍去）
若a=-58 b=10p 同理 得p=58/9（舍去） p=58/11(舍去)
若a=-29 b=20p 同理 得p=29/21 29/9均舍去
若a=-20 b=29p 同理 得到p=2/3 20/31均舍去
设a=-m b=np 容易知道 当n>m时 p=m/(n+1) m/(n-1)均非质数 可以停止讨论
故p的取值范围为{29}