Question

《数学专题高数篇》—函数、极限和连续

Answer 1

1.函数的特性单调性、有界性、奇偶性和周期性，对于函数的有界性，对应方法有两种

（1）函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上有界。

（2）函数在开区间上(a,b)连续，且极限X趋近于a＋，X趋近于b－时存在，则函数在开区间(a,b)有界。

2.单调性问题利用定义或者求导解决。

1.理解函数极限和数列极限的定义，唯一性（双侧定义，左右极限都相等），局部有界性和局部保号性。

2.数列极限存在法则： 夹逼准则和单调有界数列必有极限 。（必考）

3.极限的本质：无限趋近但不等于。（即使你给我整个世界，我也只在你身边。）

解决思路：

1.化简先行（等价替换，注意是X趋近于0，恒等变形，抓大头）

2.判别类型（7种未定式）

3.使用工具（洛必达、泰勒）

4.注意事项（总结盲点）

补充：

1.洛必达使用条件：当X趋近于a，或者趋近于无穷（无穷大或者无穷小都可以），函数都趋近于0或者都趋近于无穷大。

2.无穷大－无穷大，制造分母，通分。

3.遇到e和对数函数要兴奋，提取变成1－cosx，等价无穷小代换，及时使用洛必达法则。

4.常用思路就是判断类型，化简，洛必达或者泰勒＋无穷下代换。

形成自己解题的模板，对于总是出现的错误，及时整理出来，使其显性化，比如：及时提取不为的0的函数，如何把函数分开，前提是什么？这都是自己不熟悉的点，还有对于洛必达之后较为复杂的计算能力不够。

这是考验的难点，也是热点。

通常思路三种：

1.通项已知且易于连续化，用归结原则。

2.通项已知且不易于连续化，用夹逼准则。

3.通项由递推式给出，用单调有界准则。

通常还是用洛必达和泰勒化简求导，不过难点在于对于极限基本运算法则的掌握

两个基本结论：

三种：高阶无穷小、等价无穷小、同阶无穷小，判断阶数，然后运用等价无穷小代换、泰勒或者洛必达。

第一类间断点：可去间断点（左右极限相等但不等于该点的函数值）和跳跃间断点

第二类间断点：无穷间断点和震荡间断点

问题：如何判断间断点的个数？数量总是出错？

解决方案：

1.寻找无定义点：就是让分母为0的点或者对数函数无定义点。

2.然后利用极限运算法则进行计算验证，若左右极限都为同一常数则为可取间断点，若值为无穷，则为无穷间断点。

我的总结：

注意基本运算把失误降到最低，比如-1的三次方，通常无定义点都为分母为0的数，一一来求极限即可。

要通过例题打通知识之间的阻碍，比如08年的真题和积分中值定理相关联。