Question

f(x)是定义在R上的函数，若f(0)=2010,且对于任意的x属于R，f(x)满足f(x+2)-f(x)小于等于3×2^x ；f(x+6)-f

f(x)是定义在R上的函数，若f(0)=2010,且对于任意的x属于R，f(x)满足f(x+2)-f(x)小于等于3×2^x ；f(x+6)-f(x)大于等于63×2^x，则f(2010)=?

Answer 1

f(x+2)-f(x)≤3×2^x
f(x+4)-f(x+2)≤3×2^(x+2)=12×2^x
f(x+6)-f(x+4)≤3×2^(x+4)=48×2^x
将以上3式相加得：
f(x+6)-f(x)≤63×2^x
而题目中又给出条件f(x+6)-f(x)≥63×2^x
∴应有f(x+6)-f(x)=63×2^x
∴f(6)-f(0)=63
f(12)-f(6)=63×64
f(18)-f(12)=63×64^2
……
f(2010)-f(2004)=63×64^334
相加得：
f(2010)-f(0)=63×(1+64+64^2+……+64^334)
=63×(64^335-1)/63
=2^2010-1
∴f(2010)=2^2010+2009