Question

概率论（三）：多维随机变量及其分布

Answer 1

设 是毕正兆一个随机试验，它的样本空间是 ，设 和 是定义在 上的随机变量，它们构成的向量 称为 二维随机向量 或 二维随机变量

假如 是二维随机变量，对于任意实数 二元函数： 称为 二维随机变量 的 分布函数 ，或称为随机变量 和 的 联合分布函数

随机点 落在矩形区域 的概率为

类似地，如果二维随机变量 所有可能取值是 有限对 或 无限可列对 ，则称 是 离散型的随机变量 ，假如 所有可能取的值为 ，我们称之为随机变量 和 的 联合分布律 ,此时 ，又由概率定义知：

假如对于随机变量 的分布函数 ，存在非负函数 使对于任意 有 ，那么 是 连续型的二维随机变量 ，函数 则是其 概率密度 ，或说是随机变量 的 联合概率密度 ，根据有关定义，有：

对于二维随机变量 来说， 都有各自的分布函数，记作 ,并将之称为分别关于 的 边缘分布函数 : ,对于 ，同理。
易知对于 离散型随清粗机变量 ：
可求得 的分布律： ， 即关于随机变量 的 边缘分布

对于连续型随机变量 : ,可求概率密度： , ，此概率密度称为 边缘概率密度

设 是 二维离散型随机变量 ，对于固定的 ,若 ,则说： 为在 条件下随机变量 的 条件分布律

设 是 二维连续型随机变量 ，概率密度为 ,关于 的边缘概率密度为 ,对于固定的 , ，则称: 为在 条件下 的 条件概率密度 ，进一步： 为 条件分布函数

若二维随机变量 概率密度为 ,其中· 为是平面上的有界区域，其面积为 ，则称随机变量在 上服从 均匀分布 。

对于任意 ，假如有以下式子成立： ，即 ，则说随机变量 与 是 相互独立 的，或者连续型随机变量对应等式 成立时，离散型随机变量对应等式： 成立时。

若 是二维连续型随机变量且其概率密度为 ，则 仍为连续型随机变量，概率密度为:

或
如果 相互独立，那么 ,此公式亦称 卷手租积公式

若 是二维连续型随机变量且其概率密度为 ，则 仍为连续型随机变量，概率密度分别为：


如果 相互独立,那么

相互独立，则：

推广到 个相互独立的随机变量：