Question

线性代数之逆矩阵

Answer 1

在之前的文章 《线性代数之矩阵》 中已经介绍了一些关于矩阵的基本概念，本篇文章主要就求解逆矩阵进行进一步总结。

我们先看例子来直观的理解什么是余子式(Minor，后边将都用英文Minor，中文的翻译较乱）。

同样道理A[i, j]的minor就是去掉第i行和第j列剩下的矩阵的行列式。

我们现在已经知道如何求解某个元素的minor了，现在将某个矩阵所有元素的minors求解出来，得出一个新的矩阵就叫matrix of minors，如下图所示就是我们示例中矩阵A的minor矩阵

首先要介绍Cofactor，我们把M[i,j]的cofactor记作C[i,j]，我们可以有如下公式:

通过这个计算公式，我们可以得到所有的M对应的C，这样也组成了一个矩阵，这就是matrix of cofactors，还以我们上边的例子来看下如何得到的matrix of cofactors，记作C

当我们有了matrix of cofactors之后，我们就可以计算A的行列式了|A|，计算过程是用A的第一行的数值A[1,j]乘以相对应的cofactorC[1,j]，然后将结果相加

当|A|=0时，我们就称A为奇异矩阵，若|A|!=0，我们就称A为非奇异矩阵。奇异矩阵是没有逆矩阵的。最后我想说的是我本来想求逆矩阵的，不凑巧找了个奇异矩阵，饶恕我吧:(

伴随矩阵是将matrix of cofactors进行转置(transpose)之后得到的矩阵，我们称作A的伴随矩阵，记作adj(A)。所谓转置就是将[i,j]的值与[j,i]的值进行互换，具体到我们的例子如下：

注：这个例子不太明显，实际上交换了所有C[i,j]与C[j,i]的值，比如C[2,3]和C[3,2]

由于本篇文章的例子A是一个奇异矩阵，因此没有逆矩阵，但如果是非奇异矩阵，我们则可以按照之前的公式求得逆矩阵。

求解逆矩阵除了上面的方法外，还可以用更加直观的方法进行求解，这就是初等变换，其原理就是根据A乘以A的逆等于单位矩阵I这个原理，感兴趣的同学可以看参考链接中的视频。

1， 可汗公开课
2， minor introduction in wikipedia
3， Wyman的技术博客