Question

当0<x<π/2时，tanx>x+1/3x^3,用单调性证明不等式

Answer 1

设f(x)=tanx-x-1/3 x^3

则f'(x)=1/(cosx)^2 -1-x^2

则f"(x)=2sinx/(cosx)^3-2x

则f'''(x)=[6-4(cosx)^2]/(cosx)^4-2

=(令a=(cosx)^(-2)) 6a^2-4a-2

所以a<1时f'''(x)<0，a>1时f'''(x)>0

又a=(cosx)^(-2)>1，所以f'''(x)>0

所以f''(x)递增，又f''(0)=0

所以f''(x)>0，所以f'(x)递增

又f‘(0)=0，所以f'(x)>0，所以f(x)递增

又f(0)=0，所以f(x)>0

即 tanx-x-1/3 x^3>0

tanx>x+1/3x^3

扩展资料：

不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：.

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

（2）反证法：正难则反。

（3）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

（4）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。