Question

设双曲线C的方程为x^2/4-y^2=1,支线L的方程是y-1=k(x-2)

当k为何值时，直线L与双曲线C（1）有两个公共点？（2）有一个公共点？（3）没有公共点？

Answer 1

直线y-1=k(x-2)经过定点(2,1),定点(2,1)在双曲线C的渐进线y=x/2上，让直线绕定点(2,1)旋转，观察其与双曲线C公共点个数及k的值或取值范围，可得到：当k<-1/2或-1/2<k<1/2时直线L与双曲线C有两个公共点：当k=-1/2时直线L与双曲线C有一个公共点：当k≥1/2时直线L与双曲线C无公共点

Answer 2

双曲线的方程为x^2/4-y^2=1,直线方程为y-1=k(x-2),
实半轴长a=2，虚半轴b=1,
渐近线方程为y=±x/2,
直线经过（2，1）点，正好在一条渐近线上，
直线方程化为：y=kx-2k+1,
x^2/4-(kx-2k+1)^2-1=0,
x^2(1-4k^2)+8k(2k-1)x-16k^2+16k-8=0,
将直线方程代入双曲线方程，在一元二次方程中，若判别式=0，则直线和双曲线相切有一个交点，若判别式>0,则有解，且有二解，即有两个交点,若小于0,则无解,即没有交点,没有公共点.
△=-64k+32
当直线与双曲线有一个交点时，△=0，
k=1/2,(实际应该是x→∞时,无限逼近双曲线,近似相切,)
当直线与双曲线有2个交点时，△>0，
-64k+32>0,
k<1/2.
故当k=1/2时直线与双曲线有一个交点，当k<1/2时有2个交点。
当直线与双曲线没有交点时，△<0,
k>1/2.
经过(2,1)点的直线束,围绕该点转动,k→∞时,平行Y轴,此时与双曲线相切,真正有一个切点,k=0,平行X轴,则与双曲线有二交点,这是k的特例.
直线顺时针在渐近线以下时有二交点,逆时针以上时无交点,当垂直X轴时有一交点,再逆时针转动时,k值变负,又有二交点.