Question

怎么求椭圆的离心率

Answer 1

可设椭圆方程为
(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a＞b＞0)
两个焦点F1(-c,0), F2(c,0)
长轴的两个端点A1(-a,0),A2(a,0)
因点P在椭圆上,故可设P(acost,bsint), t∈R.
由两点间距离公式可得
|PF1|²=(acost+c)²+(bsint)²
=a²cos²t+2accost+c²+b²sin²t
=(a²-b²)cos²t+2accost+c²+b²
=c²cos²t+2accost+a²
=(a+ccost)²
由-1≤cost≤1 且a＞c＞0可知
0＜a-c≤a+ccost≤a+c
∴|PF1|=a+ccost.
∴| PF1|min=a-c. 此时,cost=-1,sint=0, P(-a,0)
又|PF1|+|PF2|=2a.
∴当|PF1|min=a-c时, |PF2|max=a+c,
此时点P在长轴的一个端点上.