Question

矩阵对角化的方法都有哪些

Answer 1

1，求出一个矩阵的全部互异的特征值a1,a2……

2，对每个特征值，求特征矩阵a1I-A的秩，判断每个特征值的几何重数q=n-r(a1I-A),是否等于它的代数重数p，只要有一个不相等，A就不可 以相似对角化，否则， 就可以相似对角化

3，当可以相似对角化时，对每个特征值，求方程组，（aiI-A）X=0的一个基础解系

4，令P=这些基础解系，则P-1AP=diag(a1,a2,a3……)，其中有qi个特征值

扩展资料：

判断方阵是否可相似对角化的条件：　　

(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;　　

(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r（λE-A）=k　　

(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;　　

(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。　　

【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。

掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质　　

(1)不同特征值的特征向量一定正交　　

(2)k重特征值一定满足满足n-r（λE-A）=k　　

【注】由性质(2)可知，实对称矩阵一定可以相似对角化;且有(1)可知，实对称矩阵一定可以正交相似对角化。　

会求把对称矩阵正交相似化的正交矩阵　　

【注】熟练掌握施密特正交化的公式;特别注意的是：只需要对同一个特征值求出的基础解系进行正交化，不同特征值对应的特征向量一定正交(当然除非你计算出错了会发现不正交)。　

3、实对称矩阵的特殊考点：　　

实对称矩阵一定可以相似对角化，利用这个性质可以得到很多结论，比如：　　

(1)实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数　　

这个结论只对实对称矩阵成立，不要错误地使用。　　

(2)两个实对称矩阵，如果特征值相同，一定相似，同样地，对于一般矩阵，这个结论也是不成立的。

实对称矩阵在二次型中的应用　　

使用正交变换把二次型化为标准型使用的方法本质上就是实对称矩阵的正交相似对角化。