Question

y''+2y'+y=2e^x+x^2通解

Answer 1

先求齐次解
y''+2y'+y=0
特征根方程
r^2+2r+1=0
r=-1,-1重根
所以
y=Ae^(-x)+Bxe^(-x)
然后
求非齐次解
先处理
y''+2y'+y=2e^x
假设y=Ce^x满足
得到（C+2C+C）e^x=2e^x
C=1/2
y=(1/2)e^x
再看
y''+2y'+y=x^2
假设y=ax^2+bx+c
2a+2(2ax+b)+ax^2+bx+c=x^2
ax^2+(4a+b)x+(2a+2b+c)=x^2
比较系数
a=1,4a+b=0,2a+2b+c=0
解得a=1,b=-4,c=6
所以y=x^2-4x+6
所以综上得到
通解
y=Ae^(-x)+Bxe^(-x)+(1/2)e^x+x^2-4x+6