Question

用范德蒙德行列式如何计算此题？求解？

Answer 1

取x1=1,x2=2,x3=3,x4=4
Ⅱ(Xi--Xj)=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)(x4-x3)(x4-x2)(x4-x1)=1X2X1X1X2X3
Ⅱ(Xi--Xj)表示所有Xi--Xj差的连乘积

不用考虑x,a,b,c的大小，只要用”后面“的数减"前面“的即可，把所有这些可能的差都求出来，然后连乘即可，本题中按照后面减前面的规则，可能的差有a-x,b-x,c-x,b-a,c-a,c-b，把这些项连乘起来就等于(a-x)(b-x)(c-x)(b-a)(c-a)(b-c)

范德蒙行列式就是在求线形递归方程 通解的时候计算的行列式.若递归方程的n个解为a1,a2,a3,...,an则范德蒙行列式如右图所示： 

范德蒙行列式共n行n列用数学归纳法. 当n=2时 范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立 现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有: 首先要把Dn降阶,从第n列起用后一列减去前一列的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)∏ (xi-xj)（其中∏ 表示连乘符号,其下标i,j的取值为n>=i>j>=2）于是就有Dn=∏ (xi-xj)(下标i,j的取值为n>=i>j>=1),原命题得证. 

注明：Dn≠（x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1