Question

极限limx->正无穷f(x)=c常数.那么limx->正无穷f'(x)=0么?如果对,如何证明?

Answer 1

这个命题不对.
下面构造函数g(x)使得其成为该命题的反例,
令g(x)是连续函数,
在区域x0-ε0﹤x﹤x0+ε0(其中x0-ε0﹥0,ε0﹥0),
C-ε0﹤y﹤C+ε0(C为常数)内,
令g(x)经过点(x0-ε0,C-ε0)和点(x0+ε0,C+ε0),
且当x0-ε0﹤x﹤x0+ε0时,g(x)在上述区域之内,∴|g(x)-C|﹤ε0,
且当x﹥x0+ε0时,|g(x)-C|﹤ε0,
那么对于ε0,存在Z=x0-ε0﹥0使得当x﹥Z时|g(x)-C|﹤ε0,
让ε0减小到ε1(ε1﹥0),x0增大到x1使得x1-ε1﹥x0-ε0,
如ε0和x0一样构造此处的g(x),
那么对于ε1,存在Z=x1-ε1﹥0使得当x﹥Z时|g(x)-C|﹤ε1,
对于小于ε0大于ε1的ε,存在Z=x1-ε1﹥0使得当x﹥Z时|g(x)-C|﹤ε1﹤ε,
重复使用上述方法,
可知对于任意ε﹥0,存在Z﹥0,使得当x﹥Z时|g(x)-C|﹤ε,
∴lim(x→+∞)g(x)=C(常数)；
由拉格朗日(Lagrange)中值定理知
在区间(xi-εi,xi+εi)(i∈N)内至少存在一点ζi使得
g(xi+εi)-g(xi-εi)=g′(ζi)·[(xi+εi)-(xi-εi)],
∴(C+εi)-(C-εi)=g′(ζi)·[(xi+εi)-(xi-εi)],
∴g′(ζi)=1,
又∵lim(i→∞)ζi=+∞(只要x(i+1)-xi够大),
∴此时lim(x→+∞)g′(x)≠0,
∴原命题不成立.