Question

二重积分怎么求椭圆的面积和周长

Answer 1

把坐标换成极坐标，然后代入椭圆的方程，得出一个关于R和角度的方程，解出R，用角度的三角函数表示的，取舍一下，取正数的那个，这就是R的范围，从零到得到的这个数。

x＝ar cosx

y＝ar sinx

dxdy＝abrdrdθ

积分上限1，下限0

然后带进去积分区域椭圆方程。

例如：

椭圆关于x轴和y轴都对称，而被积函数中的x，关于y轴为奇函数；y，关于x轴为奇函数。

所以∫∫ （y － x） dxdy ＝ 0

剩下的∫∫ （－ 2） dxdy ＝ － 2∫∫ dxdy ＝ － 2 ＊ 椭圆面积 ＝ － 2πab

所以∫∫ （y － x － 2） dxdy ＝ － 2πab。

扩资资料

重积分化二次积分时应注意的问题：

积分区域的形状

前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:

对于I型(或II型)区域, 用平行于y轴x轴的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。

如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。