二重积分怎么求椭圆的面积和周长
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把坐标换成极坐标,然后代入椭圆的方程,得出一个关于R和角度的方程,解出R,用角度的三角函数表示的,取舍一下,取正数的那个,这就是R的范围,从零到得到的这个数。
x=ar cosx
y=ar sinx
dxdy=abrdrdθ
积分上限1,下限0
然后带进去积分区域椭圆方程。
例如:
椭圆关于x轴和y轴都对称,而被积函数中的x,关于y轴为奇函数;y,关于x轴为奇函数。
所以∫∫ (y - x) dxdy = 0
剩下的∫∫ (- 2) dxdy = - 2∫∫ dxdy = - 2 * 椭圆面积 = - 2πab
所以∫∫ (y - x - 2) dxdy = - 2πab。
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重积分化二次积分时应注意的问题:
积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于y轴x轴的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。
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