Question

△ABC内接于圆o，AB=AC,点D在圆o上，AD⊥AB于点A,AD与BC交与点E，点F在DA的延长线，AF=AE

(1).求证：BF是圆O切线
（2）若AD=4，cos∠ABF=4/5，求BC的长

Answer 1

(1)由AD⊥AB可知BD是圆O的直径 下证BF⊥BD即可
因为AE=AF且AB⊥EF 所以 ∠ABF=∠ABC=∠C=∠D
所以∠DBF=∠ABF+∠ABD=∠D+∠ABD=90°
所以BF是圆O切线
（2）由（1）有∠ABF=∠D=∠C 所以cosD=cosC=cos∠ABF=4/5
在Rt△ABD中 AD=4 所以DB=5 所以AB=3 所以AC=3
过点A作AM⊥BC于点M 则可知M是BC中点
并且在Rt△ACM中 CM=ACcosC=12/5
所以 BC=2CM=24/5

Answer 2

1)由AD⊥AB可知BD是圆O的直径 下证BF⊥BD即可
因为AE=AF且AB⊥EF 所以 ∠ABF=∠ABC=∠C=∠D
所以∠DBF=∠ABF+∠ABD=∠D+∠ABD=90°
所以BF是圆O切线
（2）由（1）有∠ABF=∠D=∠C 所以cosD=cosC=cos∠ABF=4/5
在Rt△ABD中 AD=4 所以DB=5 所以AB=3 所以AC=3
过点A作AM⊥BC于点M 则可知M是BC中点
并且在Rt△ACM中 CM=ACcosC=12/5
所以 BC=2CM=24/5

Answer 3

(1)由AD⊥AB可知BD是圆O的直径 下证BF⊥BD即可
因为AE=AF且AB⊥EF 所以 ∠ABF=∠ABC=∠C=∠D
所以∠DBF=∠ABF+∠ABD=∠D+∠ABD=90°
所以BF是圆O切线
（2）由（1）有∠ABF=∠D=∠C 所以cosD=cosC=cos∠ABF=4/5
在Rt△ABD中 AD=4 所以DB=5 所以AB=3 所以AC=3
过点A作AM⊥BC于点M 则可知M是BC中点
并且在Rt△ACM中 CM=ACcosC=12/5
所以 BC=2CM=24/5

Answer 4

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