Question

驻点，极值点，拐点 ，鞍点

Answer 1

驻点（稳定点，临界点）

定义：函数一阶导数等于零的点

极值点

定义：在 x 的邻域内，f(x) 的值总是大于等于或小于等于其他值，则  x 为极值点

性质：

若极值点一阶可导，则导数为零，此时极值点为驻点。

若极值点二阶可导，则一阶导数为零，二阶导数为正（极小值）或者为负（极大值）

注意：

极值点不一定是可导点，也不一定是连续点。

推广：

若多维函数 极值点 二阶可导，则梯度为零，Hessian 矩阵为正定或负定矩阵。

拐点

定义：函数f(x)的凹凸弧分界点

性质：

若拐点二阶可导，则二阶导数为零

注意:

拐点不一定是可导点，如两个上下半圆连接的点，导数等于无穷。

鞍点

定义：一个不是局部最小值的驻点。数学含义为： 函数在此点一阶导数为零，但该点是某一方向上的函数极大值点，在另一方向上是函数极小值点。

在矩阵中，若一个元素是所在行中的最大值，所在列中的最小值，称之为鞍点。

判断鞍点的充分条件：

函数在驻点的 Hessian 矩阵为不定矩阵。

示例：

y=x^3中（0,0）是其驻点，但是Hessian 矩阵是零矩阵。。