Question

指数可以是负数吗？

Answer 1

在初中的时候，我们会学到乘方，陈方也是我们接触到的新的一种运算。这种运算我们给他几个定义，指数、底数、和幂。比如，4^3=4*4*4，也就是三个是相乘。我们的临时性共识是指数只能是正整数。那如果我们向前探索指数。它可以为零或者是负数吗？

那我们先来看一下，同底数相乘，和同底数相除。

同底数幂相成，就是两个底数相同的，两个乘方进行乘法运算。首先我们先看一下这个代数式，a^n*a^m。可以看出来，他们的底数是相同的都是a，那么同底数相乘可以怎么运算呢？为了更方便进行运算，我们先用数字，3^3*3^4。在这个算式中，我们可以将它拆分开，也就是3个3相乘再乘4个3相乘，拆分看之后，我们可以发现，其实这也就等于7个3相乘。所以，3^3*3^4=3^3+4。当然，这只是一个特例。那么我们如何证明，这就是一个规律呢？

还是用刚才的那个代数式：a^n*a^m，如果完全将它拆分开来，他就是一个连乘算式。也就是n个a相乘，在乘m个a相乘。不难发现，这个就是n+m个a相乘。

用字母表示就是a^n*a^m=a^n+m。

所以，同底数幂的乘法法则就是同底数幂相成，底数不变，指数相加。

这里我们可以先举个特例，如2^5除2^3，像这种底数相同的除法，就叫同底数幂的除法。那他该等于多少呢？

为了更方便地体现它的运算过程。这里，我用分数，来表示除法。因此，这个式子就可以表示成2^3/2^5，然后接下来就简单多了，可以将分子部分像我那样写成2*2*2*2*2，分母就写成2*2*2。分子总共有5个2，分母有3个2，约分一下就变成了2*2/1，而分子还剩两个二。所以答案就等于2^2。不难发现，一开始这两个底数都是2，结果中的底数也是2。没有发生变化，而指数2就恰好等于5-3的差。可是这样又如何证明，这是一个普遍的规律呢？光一个特例是无法证明的。

所以我们还是用字母的方式表示。就是a^m除a^n，像刚才那样叫他转化为分数：a^m/a^n，其中分子为m个n相乘，分母为n个a相乘，化简一下，就等于，a^m-n。（其中， a是除数的底数。所以他不能等于零。另外在这里，m和n为正整数，并且m要大于n才行）。

如果是a^6除a^6呢？底数依然相同，那结果就等于a^6-6，也可以发现这样就等于a^0，指数为零了，那这是什么情况啊？按照除法的定义，a^6=a^6，那a^6除a^6就等于1呀。所以， a^0=1，不过在这里a还是不能等于0）。也就是说，任何不位0的数的0次幂都等于1。这就是0指数幂的运算。

那如果是一个数的负数次幂呢？比如a^（-m），（m是非负数）。可以将它转化为刚才那个零指数幂的运算。就是a^（0-m），逆过来算。就是a^0除a^m，我们还可以发现a^（-m）=1/（a^m）。

所以说我们可以发现，一个数的负数次幂，就是把这个数的指数变成正数，然后这个底数变成这个数的倒数。比如说，2^（-2）=1/2^2。

所以说，经过我们的探索，我们发现其实指数也可以作为0或负数。