Question

大学数学分析问题，求高手解答。

已知序列函数fn(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f，且fn(x) 在[a,b]上有界。g(x)是在R上的连续函数，求证 g(fn(x))一致收敛于g(f(x))

Answer 1

因为函数g(x)连续函数，所以对于任意的ε>0，存在δ，当|fn(x)-f(x)|<δ,有
|g(fn(x))-g(f(x)|<ε.由于fn(x)为一致收敛，对于前面的δ，存在N0，当N>N0时，就有|fn(x)-f(x)|<δ。所以 g(fn(x))一致收敛于g(f(x)).
你看对吗？