Question

一题09黄冈奥数题

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，三角形BOC的面积是9，三角形AOD的面积是25，则四边形ABCD的面积最小值是
A。34 B.64 C69 D无法求出

图没错，原图就是这样

Answer 1

选B

S△BOC*S△AOD=S△AOB*S△COD
这可以用正弦定理推得
AO=a，BO=b，CO=c，DO=d。角AOD=角BOC=x，角AOB=角COD=π-x

则S△BOC=0.5*b*c*sinx；S△AOD=0.5*a*d*sinx
S△AOB=0.5*a*b*sin(π-x)=0.5*a*b*sinx
S△COD=0.5*c*d*sin(π-x)=0.5*c*d*sinx

于是可以证明出第一行的恒等式。
那么S△BOC*S△AOD=9*25=S△AOB*S△COD
S△AOB*S△COD为定值，又因为S△AOB，S△COD必大于零
所以(S△AOB+S△COD）存在最小值15+15=30

于是四边形面积最小值为9+25+15+15=64
此时四边形存在并且为一个等腰梯形