x,y>0 x^3+y^3=x-y 求证:x^2+y^2
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要证x^2+y^2<1
相当于(x^2+y^2)(x-y)/(x^3+y^3)<1
也就是证明x^3-y^3+xy^2-x^2y<x^3+y^3
由于x>0,y>0所以相当于证明xy<x^2+2y^2
由于x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+0.75y^2>0
所以x^2+2y^2>x^2+y^2>xy
所以原不等式成立</x^2+2y^2
</x^3+y^3
相当于(x^2+y^2)(x-y)/(x^3+y^3)<1
也就是证明x^3-y^3+xy^2-x^2y<x^3+y^3
由于x>0,y>0所以相当于证明xy<x^2+2y^2
由于x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+0.75y^2>0
所以x^2+2y^2>x^2+y^2>xy
所以原不等式成立</x^2+2y^2
</x^3+y^3
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