Question

当n.>=0时,多项式x^(n+2)+(〖x+1)〗^(2n+1)能被x^2+x+1整除.请用数学归纳法证明？

Answer 1

当n＝0时,x^(n+2)+(〖x+1)〗^(2n+1)＝x^2+x+1能被x^2+x+1整除.
设当n＝m时,x^(m+2)+(〖x+1)〗^(2m+1)能被x^2+x+1整除.
那么当n＝m+1时,x^(n+2)+(〖x+1)〗^(2n+1)＝x^(m+1+2)+(〖x+1)〗^(2(m+1)+1)=x*x^(m+2)+(x+1)^2*(〖x+1)〗^(2m+1)=x*x^(m+2)+(x^2+2x+1)*(〖x+1)〗^(2m+1)=x*x^(m+2)+x*(〖x+1)〗^(2m+1)+（x^2+x+1)*(〖x+1)〗^(2m+1)=x(x^(m+2)+(〖x+1)〗^(2m+1))+（x^2+x+1)*(〖x+1)〗^(2m+1)
因为x^(m+2)+(〖x+1)〗^(2m+1)能被x^2+x+1整除,所以x(x^(m+2)+(〖x+1)〗^(2m+1))能被x^2+x+1整除,而（x^2+x+1)*(〖x+1)〗^(2m+1)也能被x^2+x+1整除,所以当n＝m+1时,多项式x^(n+2)+(〖x+1)〗^(2n+1)能被x^2+x+1整除.
综上所述,当n>=0时,多项式x^(n+2)+(〖x+1)〗^(2n+1)能被x^2+x+1整除.,4,