Question

解拉格朗日方程

Answer 1

从第3个方程得到2z(λ+1)=0, 即z=0或者λ=-1 然后分两类讨论 z=0，第4个方程变成xy+x-y+4=0 前两个方程消去λ可以得到x(x-1)=y(y+1)，整理成(x+y)(x-y-1)=0 再分两种情况 。

x=-y，代入xy+x-y+4=0得到一元二次方程，解出x=1±5^{1/2}，相应的y=-x, z=0

x=y+1，同样解一个一元二次方程，此时没有实数解 λ=-1，此时前两个方程是线性方程，很容易解出x=-1, y=1, 代入第4个方程得到z=±1，把这些情况综合一下就得到(-1,1,±1)是离远点最近的点。

拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。

扩展资料：

从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。

而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。

用拉格朗日方程解题的优点是：

①广义坐标个数通常比x坐标少，即N<3n，故拉氏方程个数比直角坐标的牛顿方程个数少，即运动微分方程组的阶数较低，问题易于求解；

②广义坐标可根据约束条件作适当的选择，使力学问题的运算简化，并且不必考虑约束力；

③T和L都是标量，比力的矢量关系式更易表达，因此较易列出动力方程。

参考资料来源：百度百科——拉格朗日方程