Question

已知a+b+c=0,abc=8 求证a分之1+b分之一+c分之一小于0？

Answer 1

由题意,易知a,b,c中有两个数为负数,一个数为正数
不妨设,a≤b＜0＜c
1/a=bc/8,1/b=ac/8,1/c=ab/8
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ac)/8
=[a(b+c)+bc]/8
=(-a²+bc)/8
因为-a²＜0,bc＜0
所以-a²+bc＜0,即(-a²+bc)/8＜0
于是1/a+1/b+1/c＜0,1,简而言之，a+b+c=0.abc为正数，故abc三个数有两个为负，一个为正。不妨设a为正，bc为负，则，若满足上述条件，a的绝对值大于b或c的绝对值。那么a分之一必小于b的绝对值分之一，即：两者相加必小于0，而c分之一也为负，即原题得证,2,证：
abc=8≠0，a≠0，b≠0，c≠0
a+b+c=0
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0
ab+bc+ca=-(a²+b²+c²)/2
a≠0，b≠0，c≠0
a²+b²+c²>0
ab+bc+ca<0,0,