Question

高分！高中数学证明题，要详细过程！

已知a，b，c均为实数，且a+b+c=1求证：(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8.请最好用反证法或者分析法。

Answer 1

证明：
b+c>=2√(bc)
a+c>=2√(ac)
a+b>=2√(ab)
(b+c)(a+c)(a+b)>=8abc
b+c=1-c
a+c=1-b
a+b=1-c
(1-a)(1-b)(1-c)>=8abc
(1-a)(1-b)(1-c)/(abc)>=8
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8

Answer 2

a+b+c=1
则：(1/a-1)=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a
同理，原式=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc)>=2*2*2abc/(abc)=8

Answer 3

条件应该为 已知a，b，c均为（正）实数

1/a-1=(1-a)/a=(b+c)/a>=2（b+c)^0.5 /a (1)
1/b-1=(1-b)/b=(a+c)/b=2（a+c)^0.5 /b (2)
1/c-1=(1-c)/c=(a+b)/c=2（a+b)^0.5 /c (3)
(1)*(2)*(3)可得