Question

均值不等式证明

Answer 1

均值不等式证明如下：

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

(A+B)^n >=A^n +nA^（n-1）B

引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

原题等价于：

（a1+a2+………+a/k）^k≥a1a2……ak当且仅当a1=a2=………an时，k取等号。

当n=2时易证；

假设当 n=k时命题成立，即：1+a2+……+a/k)^k≥a1a2……ak，当目仅当a1=a2=……ak时取等号。那么当n=k+1时，不妨设ak+1是a1、a2…ak+1中最大者，则kak+1≥a1+a2+…+ak

设S=a1+a2+…+ak，（a1+a2+………+a/k+1）^k+1=（（s/k+kak+1-s）/k（k+1））

当且仅当kak+1-S=0且a1=a2=……ai时，即a1=a2=…=ak=ak+1时取等号。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。