泰勒公式展开式推导
泰勒公式是一种将一个函数在某一点附近展开成无限项多项式的方法，其推导过程如下：
设$f(x)$在$x=a$处有$n$阶导数，则有：
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
其中，$\xi$是$x$和$a$之间的某个值，即$x$和$a$之间的某个点。
这里解释一下上式中的各个符号：
- $f^{(k)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$k$阶导数；
- $k!$表示$k$的阶乘；
- $(x-a)^k$表示$(x-a)$的$k$次方。
接下来我们来证明上述公式。
首先，我们定义一个新函数：
$$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$
这里，我们将$f(x)$用其在$a$处展开成$n$次多项式来逼近它自己。然后，我们要证明当$n\rightarrow \infty $时，有：
$$R_n(x)\rightarrow 0$$
也就是说，在无限次展开后，误差会趋近于零。
接着，我们对上式进行求导，并利用了求导的线性性质：
$$R_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)-\sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j+k)}(a)}{j!}(a-a)^j=f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a)=0$$
这里，我们用到了当$j<k$时，$f^{(j+k)}=0$。
因此，我们得到：
$$R_n(x)=\frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
这里，我们用到了拉格朗日中值定理。注意到当$n\rightarrow \infty $时，$\xi$将趋近于$a$。因此，
$$\lim_{n\rightarrow \infty }R_n(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}=0$$
证毕。
