Question

已知如图三角形ABC中，点E为内心延长AE交三角形的外接圆点D，求证DB=DC=DE

Answer 1

内心是三角形三条角平分线的交点，所以AD,BE分别是角BAC和ABC的角平分线；
角BAD=DAC,则弧BD=CD,即弦BD=CD；
角DBC=DAC（同弧圆周角）
角DBE=DBC+CBE=DAC+CBE；
角DEB=DAB+ABE（外角等于相邻内角和）
即DEB=DBE；即BD=DE=CD；

Answer 2

分析：

首先连接BE，由E是内心，易证得∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，又由同弧所对的圆周角相等，证得∠EAC=∠CBD，则可得∠EBD=∠BED，即可证得DE=BD；

过程：

解：连接BE，
∵E为内心，
∴AE，BE分别为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠BAE+∠EBA，∠EBA=∠EBC，∠BAE=∠EAC，
∴∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，
∵弧DC=弧DC，
∴∠EAC=∠CBD，
∴∠EBD=∠BED，
∴DE=BD；