Question

已知如图三角形ABC中，点E是内心，延长AE交三角形的外接圆于点D求证DB=DC=DE

Answer 1

因为E是内心，所以EA、EB分别为∠A和∠B的角平分线，即∠BAD=∠DAC=∠A/2，,∠ABE=∠EBC=∠B/2
所以BD=CD

因为∠DAC和∠DBC对应同一段外接圆弧CD，所以∠DBC=∠DAC=∠A/2

所以∠DBE=∠DBC+∠EBC=(∠A+∠B)/2

因为∠DEB=∠BAD+∠ABE=(∠A+∠B)/2

所以∠DBE=∠DEB

所以BD=DE
所以DB=DC=DE

Answer 2

E为三角形内心，即：AE,BE,CE是三角形三条角平分线，所以有∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，又AE=BE=CE半径，所以∠CAD=∠BAD=∠ABE=∠CBE=∠ACE=∠BCE=180°/6=30°，故∠BED=60°，且BE=DE=半径，故三角形BED为正三角形，DB=DE，同理可得DC=DE，问题得证

Answer 3

上面两个解答都是错的。三角形的内心与外心不一定是同一点。