Question

为什么函数在0点可导，在x0点至少存在一个导数。

Answer 1

因为罗尔定理得f'（ξ）=0，f'（x）=a1cosx+a2cos3x+……+ancos（2n-1）x ，指该f'（x）在ξ点有解，当然在（0，π/2）之间也有可能有其他解，所以至少有一个解。

假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ，x0 +a)内有定义，当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量 Δy=f(x)-f(x)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)，记作f′(x0)，即f′(x0)=Δy/Δx (Δx→0)，若极限为无穷大，称之为无穷大导数。

性质分析

一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的。

可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分dx，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。

Answer 2

这个问题可能有些混淆了，因为函数在0点可导并不意味着在 $x=0$ 处至少存在一个导数。
如果一个函数在 $x=0$ 处可导，那么必须满足两个条件：首先，该函数在 $x=0$ 处存在；其次，该函数在 $x=0$ 处的左导数和右导数存在且相等。换句话说，如果一个函数在 $x=0$ 处可导，那么它必须满足极限
lim
⁡
x
0
−
f
(
x
)
−
f
(
0
)
x
−
0
=
lim
⁡
x
0
+
f
(
x
)
−
f
(
0
)
x
−
0
,
x0
−

lim
​

x−0
f(x)−f(0)
​
=
x0
+

lim
​

x−0
f(x)−f(0)
​
,
且这两个极限必须相等。
而这个条件并不意味着在 $x=0$ 处存在一个导数。实际上，在 $x=0$ 处可能不存在导数，比如函数 $f(x) = |x|$，在 $x=0$ 处可导，但不存在导数。