设G是简单平面图，证明：它一定有一个度数不大于5的结点．
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【答案】：不妨设G是连通的．若不连通，就可考察G中的一个连通分支．因G是简单图，每个面至少有3条边，所以3r≤2e，即有r≤≤2e/3．
如果每个结点的度数都不小于6，则6v≤2e，即有v≤e/3．
由欧拉公式可得
2=v-e+r≤e/3-e+2e/3=0．
与题设矛盾，所以，G中至少有一个结点的度数不大于5．
如果每个结点的度数都不小于6，则6v≤2e，即有v≤e/3．
由欧拉公式可得
2=v-e+r≤e/3-e+2e/3=0．
与题设矛盾，所以，G中至少有一个结点的度数不大于5．
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