Question

y=cosx+arcsinx,x=0,求微分

Answer 1

😳问题 : y=cosx+arcsinx,x=0,求微分 dy|x=0

👉微分

• f'(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。因此△y的线性形式的主要部分dy=f'(x)△x是y的微分。 [6]  可见，微分作为函数的一种运算，是与求导（函）数的运算一致的。

• 微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。 

1. 『例子一』  y= x , dy =dx
   

2. 『例子二』 y= cosx , dy =-sinxdx

3. 『例子三』 y= x^2 , dy = 2x dx
   

👉回答

y=cosx+arcsinx

• 两边取微分

dy=d(cosx+arcsinx)

• 分开微分

dy = [-sinx+ 1/√(1-x^2) ] dx

• 代入 x=0

dy| x=0 

= [-sin0+ 1/√(1-0^2) ] dx

=dx

😄: 结果 : y=cosx+arcsinx, dy|x=0 = dx

Answer 2

首先，根据链式法则，对于 f(x) = arcsin(x)，有：
f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)
然后，对于 g(x) = cos(x)，有：
g'(x) = -sin(x)
接下来，我们可以使用和差公式计算 y = g(x) + f(g(x)) = cos(x) + arcsin(sin(x))，得到：
y' = g'(x) + f'(g(x)) × g'(x)
= -sin(x) + 1 / sqrt(1 - sin^2(x)) × cos(x)
由于 x=0，因此：
sin(0) = 0
cos(0) = 1
将这些值代入上式，得到：
y'(0) = -sin(0) + 1 / sqrt(1 - sin^2(0)) × cos(0)
= -0 + 1 / sqrt(1 - 0^2) × 1
= 1
因此，当 x=0 时，y = cos(x) + arcsin(sin(x)) 的微分为 y'(0) = 1。