Question

3.求方程yy''-(y')^2+1=0 满足条件y(0)=1 y'(0)=0=0的特解

Answer 1

我们可以使用常系数线性齐次微分方程的特解求法来求解该非齐次微分方程的特解。首先，对于方程
y'' - (y')^2 + 1 = 0
我们先求出它的齐次微分方程
y'' - (y')^2 = 0
对于齐次微分方程 y'' - (y')^2 = 0，我们可以将其转化为
(y'/y)' = 0
对其进行积分，得到
y' / y = C1
其中 C1 是一个常数。再对上式进行一次积分，得到
y = C2 exp(C1x)
其中 C2 是一个常数。这是齐次微分方程的通解。
接下来，我们寻找非齐次微分方程的一个特解。考虑到 y(0)=1 y'(0)=0，我们可以猜测一个特解为 y=1。将其带入非齐次微分方程，得到
y'' - (y')^2 + 1 = 0
0 - 0^2 + 1 = 0
因此，y=1 是非齐次微分方程的一个特解。那么该非齐次微分方程的通解为
y = C2 exp(C1x) + 1
现在我们需要找到常数 C1 和 C2。根据 y'(0)=0=0，我们可以得到
C1 C2 = 0
因为 C2 不为 0（否则 y(0) 不等于 1），所以 C1 必须为 0。因此，我们有
y = C2 + 1
根据 y(0)=1，我们得到 C2=0，因此特解为 y=1。因此，该非齐次微分方程的通解为
y = 1
因此，满足条件 y(0)=1 y'(0)=0=0 的特解为 y=1。